Moving Media In Time Series Dati

Moving medie mobili medie Con set di dati convenzionali il valore medio è spesso il primo, e uno dei più utili, statistiche di riepilogo per calcolare. Quando i dati sono in forma di una serie temporale, serie significano è una misura utile, ma non riflette la natura dinamica dei dati. I valori medi calcolati su periodi di cortocircuito, sia che precede il periodo corrente o incentrate sul periodo attuale, sono spesso più utili. Poiché tali valori medi variano, o spostare, come le mosse del periodo corrente da tempo t 2, t 3. ecc sono conosciuti come le medie mobili (MAS). Una media mobile semplice è (in genere) la media non ponderata dei k valori precedenti. Una media mobile ponderata esponenzialmente è essenzialmente lo stesso come semplice media mobile, ma con contributi alla media ponderata per la loro vicinanza al tempo corrente. Perché non ce n'è uno, ma tutta una serie di medie per ogni serie in movimento, l'insieme di Mas può si essere tracciata su grafici, ha analizzato come una serie, e utilizzato nella modellazione e previsione. Una gamma di modelli può essere costruito utilizzando medie mobili, e questi sono conosciuti come modelli MA. Se tali modelli sono combinati con autoregressivo (AR) modelli modelli compositi risultanti sono noti come modelli ARMA o ARIMA (l'io è per integrato). Semplici media mobile Da una serie temporale possono essere considerate come un insieme di valori,, t 1,2,3,4, n la media di questi valori possono essere calcolati. Se assumiamo che n è abbastanza grande, e selezionare un intero k che è molto più piccolo di n. possiamo calcolare un insieme di calze blocco, o semplici medie mobili (dell'ordine k): Ogni misura rappresenta la media dei valori dei dati in un intervallo di k osservazioni. Si noti che la prima possibile MA di ordine k GT0 è che per t k. Più in generale possiamo cadere il pedice in più nelle espressioni sopra e scrivere: Questo si afferma che la media stimata al tempo t è la media semplice del valore osservato al tempo t e le precedenti fasi k -1 tempo. Se i pesi vengono applicate che diminuire il contributo di osservazioni che sono più lontani nel tempo, la media mobile si dice che sia in modo esponenziale levigata. Le medie mobili sono spesso utilizzati come forma di previsione, per cui il valore stimato di una serie al tempo t 1, S t1. è presa come MA per il periodo fino al tempo t. per esempio. oggi stima si basa su una media di precedenti valori registrati fino ad includere ieri (per i dati di tutti i giorni). Semplici medie mobili può essere visto come una forma di lisciatura. Nell'esempio illustrato di seguito, il set di dati di inquinamento atmosferico mostrato nella introduzione a questo argomento è stato aumentato da un movimento linea 7 giorni di media (MA), mostrato qui in rosso. Come si può vedere, la linea MA appiana i picchi e depressioni nei dati e può essere molto utile per identificare tendenze. L'attaccante-calcolo della formula standard significa che i primi punti k -1 di dati non hanno alcun valore MA, ma da allora in poi i calcoli estendersi al punto di dati finale della serie. PM10 valori medi al giorno, Greenwich fonte: London Air Quality Network, londonair. org. uk Uno dei motivi per il calcolo semplici medie mobili nel modo descritto è che consente valori da calcolare per tutte le fasce orarie da tempo tk fino ad oggi, e come si ottiene una nuova misurazione per il tempo t 1, il MA per il tempo t 1 può essere aggiunto al set già calcolato. Questo fornisce una semplice procedura per set di dati dinamici. Tuttavia, ci sono alcuni problemi con questo approccio. È ragionevole sostenere che il valore medio degli ultimi 3 periodi, per esempio, deve essere posizionato al tempo t -1, non il tempo t. e per un MA su un numero pari di periodi forse dovrebbe essere posizionata a metà punto tra due intervalli di tempo. Una soluzione a questo problema è quello di utilizzare i calcoli MA centrato, in cui il MA al tempo t è la media di un insieme di valori simmetrica intorno t. Nonostante i suoi evidenti meriti, questo approccio non è generalmente utilizzato perché richiede che i dati sono disponibili per gli eventi futuri, che potrebbero non essere il caso. Nei casi in cui l'analisi è interamente di una serie esistente, l'uso di centrata Mas può essere preferibile. medie mobili semplici possono essere considerati come una forma di smoothing eliminando alcune componenti ad alta frequenza di una serie temporale ed evidenziando (ma non rimozione) tendenze in modo simile alla nozione generale di filtraggio digitale. Infatti, le medie mobili sono una forma di filtro lineare. E 'possibile applicare un calcolo media mobile ad una serie già levigata, cioè l'attenuazione o il filtraggio di una serie già levigata. Ad esempio, con una media mobile di ordine 2, possiamo considerare come siano calcolate utilizzando pesi, in modo che il MA in x 2 x 0,5 1 0,5 x 2. Analogamente, il MA in x 3 0,5 x 2 x 0,5 3. Se applicare un secondo livello di finitura o di filtraggio, abbiamo 0,5 x 2 0,5 x 3 0,5 (0,5 x 1 0,5 x 2) 0,5 (0,5 x 2 0,5 x 3) 0.25 x 1 0,5 x 2 0,25 x 3 cioè il filtraggio a 2 stadi processo (o la convoluzione) ha prodotto una simmetrica variabile ponderata media mobile, con i pesi. circonvoluzioni multipli possono produrre abbastanza complessi medie mobili ponderate, alcuni dei quali sono stati trovati di particolare utilità nei settori specializzati, come ad esempio nei calcoli di assicurazione sulla vita. Le medie mobili possono essere utilizzati per rimuovere gli effetti periodici se calcolata con la lunghezza della periodicità come noto. Ad esempio, con dati mensili variazioni stagionali spesso possono essere rimossi (se questo è l'obiettivo) si applicano con una media mobile di 12 mesi simmetrica con tutti i mesi ponderati allo stesso modo, tranne il primo e l'ultimo, che sono ponderati in base 12. Questo perché non ci sarà di 13 mesi nel modello simmetrico (ora corrente, t -. 6 mesi). Il totale è diviso per 12. Procedure simili può essere adottato alcuna periodicità ben definita. medie mobili ponderate in modo esponenziale (EWMA) con la semplice formula media mobile: tutte le osservazioni sono ugualmente ponderato. Se abbiamo chiamato questi pesi uguali, alfa t. ciascuno dei pesi k sarebbe uguale 1 k. quindi la somma dei pesi sarebbe 1, e la formula sarebbe: Abbiamo già visto che più applicazioni di questo risultato processo nei pesi diversi. Con medie mobili esponenziale ponderata il contributo al valore medio dalle osservazioni che sono più rimossi in tempo è deliberata ridotta, sottolineando in tal modo gli eventi più recenti (locali). Essenzialmente un parametro smoothing, 0LT alfa LT1, viene introdotto, e la formula rivisto per: Una versione simmetrica di questa formula sarebbe la forma: Se i pesi nel modello simmetrico vengono selezionati come i termini dei termini di espansione binomiale, (1212) 2q. che si somma a 1, e come q diventa grande, si approssimare la distribuzione normale. Questa è una forma di ponderazione kernel, con la recitazione Binominale come funzione del kernel. La convoluzione due fasi descritta nel paragrafo precedente, è proprio questa disposizione, con q 1, cedendo i pesi. In livellamento esponenziale è necessario utilizzare un insieme di pesi che somma a 1 e che riducono dimensioni geometricamente. I pesi utilizzati sono in genere di forma: Per dimostrare che questi pesi sommano a 1, prendere in considerazione l'espansione di 1 come una serie. Siamo in grado di scrivere e ampliare l'espressione tra parentesi con la formula binomiale (1- x) p. dove x (1-) e p -1, che assicura: Questo fornisce quindi una forma di ponderata media mobile della forma: Questa somma può essere scritta come una relazione di ricorrenza: il che semplifica notevolmente il calcolo, ed evita il problema che il regime ponderazione va rigorosamente infinito per i pesi sommano a 1 (per piccoli valori di alfa. questo non è tipicamente il caso). La notazione usata da diversi autori varia. Alcuni usano la lettera S per indicare che la formula è essenzialmente una variabile levigato, e scrivere: considerando che la letteratura teoria del controllo utilizza spesso Z invece di S per i valori in modo esponenziale ponderata o levigate (vedi, per esempio, Lucas e Saccucci 1990, luc1 , e il sito web del NIST per maggiori dettagli e lavorato esempi). Le formule sopra citati derivano dal lavoro di Roberts (1959, Rob1), ma Hunter (1986, HUN1) utilizza un'espressione della forma: che può essere più appropriato per l'uso in alcune procedure di controllo. Con alpha 1 la stima media è semplicemente il valore misurato (o il valore del dato precedente). Con 0,5 la stima è la media mobile semplice delle misure attuali e precedenti. In previsione modelli il valore, S t. viene spesso utilizzato come stima o un valore meteo per il periodo di tempo successivo, cioè come la stima per x al tempo t 1. Così abbiamo: Questo mostra che il valore di previsione al tempo t 1 è una combinazione della media mobile ponderata esponenzialmente precedente più un componente che rappresenta la pesata errore di predizione, epsilon. al tempo t. Assumendo una serie temporale è dato e si richiede una previsione, è richiesto un valore per alfa. Questo può essere definita sulla base dei dati esistenti, valutando la somma degli errori di previsione quadrati ottenere con diversi valori di alfa per ogni t 2,3. modificando la prima stima di essere il primo valore di dati osservati, x 1. In applicazioni di controllo il valore di alfa è importante che viene utilizzato per la determinazione dei limiti di controllo superiore e inferiore, e colpisce la tiratura media (ARL) previsto prima che questi limiti di controllo sono rotti (sotto l'ipotesi che la serie temporale rappresenta un insieme di casuale, identicamente distribuite variabili indipendenti con varianza comune). In queste circostanze la varianza della statistica di controllo: è (Lucas e Saccucci, 1990): Controllo limiti sono di solito impostati come multipli fissi di questa varianza asintotica, per esempio - 3 volte la deviazione standard. Se alfa 0,25, per esempio, ed i dati monitorati si assume di avere una distribuzione normale, N (0,1), quando nel controllo, i limiti di controllo saranno - 1.134 e il processo raggiungerà uno o altro limite in 500 passi in media. Lucas e Saccucci (1990 luc1) derivano le ARLS per una vasta gamma di valori alfa e sotto diverse ipotesi utilizzando le procedure di Markov Chain. Essi tabulare i risultati, compresa la fornitura ARLS quando la media del processo di controllo è stato spostato da un multiplo della deviazione standard. Ad esempio, con uno spostamento di 0,5 con alpha 0.25 l'ARL è inferiore a 50 fasi temporali. Gli approcci sopra descritti è noto come singolo livellamento esponenziale. le procedure sono applicate una volta alla serie tempo e poi analisi o processi di controllo vengono effettuate sul dataset lisciato risultante. Se il set di dati include una tendenza Andor componenti stagionali, a due o tre stadi di livellamento esponenziale può essere applicato come un mezzo per rimuovere (esplicitamente modellazione) questi effetti (vedi più avanti, la sezione sulle previsioni. Di seguito, e il NIST ha lavorato esempio). CHA1 Chatfield C (1975) L'analisi dei tempi della serie: teoria e pratica. Chapman and Hall, London HUN1 Hunter J S (1986) La media mobile esponenziale ponderata. J of Technology Qualità, 18, 203-210 luc1 Lucas J M, Saccucci M S (1990) esponenziale mobile ponderata sistemi basati sulla media di controllo: Proprietà e miglioramenti. Technometrics, 32 (1), 1-12 Rob1 Roberts S W (1959) controllo grafico test basati su medie mobili geometriche. Technometrics, 1, 239-250Smoothing dati rimuove variazione casuale e mostra tendenze e componenti cicliche inerenti alla raccolta dei dati presi nel corso del tempo è una forma di variazione casuale. Esistono metodi per ridurre di annullare l'effetto dovuto alla variazione casuale. Una tecnica spesso utilizzata nel settore è levigante. Questa tecnica, se applicato correttamente, rivela più chiaramente la tendenza di fondo, stagionale e componenti cicliche. Ci sono due gruppi distinti di metodi di lisciatura Averaging Metodi esponenziali metodi di lisciatura medie prendere è il modo più semplice per lisciare i dati Per prima cosa studiare alcuni metodi di calcolo della media, come ad esempio la media semplice di tutti i dati passati. Un gestore di un magazzino vuole sapere quanto un fornitore tipico offre in 1000 unità in dollari. Heshe prende un campione di 12 fornitori, in modo casuale, ottenendo i seguenti risultati: La media calcolata o media dei dati 10. Il gestore decide di utilizzare questo come la stima delle spese di un fornitore tipico. Si tratta di una stima buona o cattiva quadratico medio errore è un modo per giudicare come un buon modello è Dobbiamo calcolare l'errore quadratico medio. Il vero errore importo speso meno l'importo stimato. L'errore al quadrato è l'errore di cui sopra, al quadrato. Il SSE è la somma degli errori quadratici. Il MSE è la media degli errori quadratici. MSE risulta per esempio I risultati sono: Error e errori al quadrato La stima 10 si pone la domanda: possiamo usare il mezzo per prevedere reddito se abbiamo il sospetto un trend Uno sguardo al grafico qui sotto mostra chiaramente che non dovremmo farlo. Media pesa tutte le osservazioni passate altrettanto In sintesi, si precisa che la media semplice o media di tutte le osservazioni del passato è solo una stima utile per la previsione quando non ci sono le tendenze. Se ci sono tendenze, utilizzare diverse stime che tengono il trend in considerazione. La media pesa tutte le osservazioni del passato allo stesso modo. Ad esempio, la media dei valori 3, 4, 5 è 4. Sappiamo, naturalmente, che in media è calcolata sommando tutti i valori e dividendo la somma per il numero di valori. Un altro modo di calcolare la media è aggiungendo ogni valore diviso per il numero di valori, o 33 43 53 1 1,3333 1,6667 4. Il moltiplicatore 13 è chiamato il peso. In generale: bar sum frac sinistra (frac destra) x1 sinistra (frac destra) x2,. ,, A sinistra (frac destra) xn. L'(a sinistra (frac destra)) sono i pesi e, ovviamente, si sommano a 1.Utilizzando R per Time Series Analysis Time Series Analysis Questo libretto itells come utilizzare il software statistico R per effettuare alcune semplici analisi che sono comuni per analizzare dati di serie temporali. Questo libretto presuppone che il lettore abbia una conoscenza di base delle analisi di serie temporali, e il focus principale del libretto non è quello di spiegare l'analisi di serie temporali, ma piuttosto di spiegare come effettuare queste analisi utilizzando R. Se siete nuovi alla serie temporali analisi, e vogliono saperne di più su uno qualsiasi dei concetti presentati qui, vi consiglio vivamente il libro Open University 8220Time series8221 (codice prodotto M24902), disponibile presso dalla Open University shop. In questo opuscolo, userò insiemi di dati di serie temporali che sono stati gentilmente messi a disposizione da Rob Hyndman nella sua biblioteca dati di serie temporali a robjhyndmanTSDL. Se vi piace questo opuscolo, come si può anche controllare il mio libretto di utilizzare R per le statistiche biomediche, a-little-book-of-r-for-biomedical-statistics. readthedocs. org. e il mio libretto di utilizzare R per l'analisi multivariata, little-book-of-r-for-multivariate-analysis. readthedocs. org. Lettura dati di serie storiche La prima cosa che si vuole fare per analizzare i dati di serie storiche sarà di leggerlo in R, e per tracciare le serie storiche. È possibile leggere i dati in R utilizzando la funzione di scansione (), che presuppone che i dati per i punti di tempo successivi è in un semplice file di testo con una colonna. Ad esempio, il file robjhyndmantsdldatamisckings. dat contiene i dati relativi all'età della morte dei re successivi di Inghilterra, a partire Guglielmo il Conquistatore (fonte originale: Hipel e Mcleod, 1994). Il set di dati è simile al seguente: sono stati mostrati solo le prime righe del file. Le prime tre righe contengono qualche commento sui dati, e noi vogliamo ignorare questo quando leggiamo i dati in R. Possiamo usare questo utilizzando il parametro 8220skip8221 della funzione di scansione (), che specifica il numero di righe in cima il file di ignorare. Per leggere il file in R, ignorando le prime tre righe, digitiamo: in questo caso l'età della morte di 42 re successivi di Inghilterra è stato letto nella variabile 8216kings8217. Dopo aver letto i dati di serie temporali in R, il passo successivo è quello di memorizzare i dati in un oggetto serie temporale in R, in modo da poter usare R8217s molte funzioni per l'analisi dei dati di serie temporali. Per memorizzare i dati in un oggetto serie temporale, si usa la funzione ts () in R. Ad esempio, per memorizzare i dati nella variabile 8216kings8217 come oggetto serie temporale in R, digitiamo: a volte i dati di serie temporali set che si sono possono essere stati raccolti ad intervalli regolari, che sono state meno di un anno, per esempio, mensile o trimestrale. In questo caso, è possibile specificare il numero di volte in cui i dati sono stati raccolti per anno utilizzando il parametro 8216frequency8217 nei ts funzione (). Per i dati mensili di serie temporali, è possibile impostare frequency12, mentre per i dati di serie temporali trimestrali, si imposta frequency4. È inoltre possibile specificare il primo anno che i dati sono stati raccolti, e il primo intervallo in quell'anno utilizzando il parametro 8216start8217 nei ts funzione (). Ad esempio, se il primo punto di dati corrisponde al secondo trimestre del 1986, è necessario impostare startc (1986,2). Un esempio è un insieme di dati del numero di nascite al mese in città di New York, da gennaio 1946 al dicembre 1959 (originariamente raccolti da Newton). Questi dati sono disponibili nel file robjhyndmantsdldatadatanybirths. dat Possiamo leggere i dati in R, e conservarla come un oggetto serie temporale, digitando: Allo stesso modo, il file contiene robjhyndmantsdldatadatafancy. dat vendite mensili per un negozio di souvenir in una città balneare in Queensland, in Australia, per il gennaio 1987-dicembre 1993 (dati originali da Wheelwright e Hyndman, 1998). Siamo in grado di leggere i dati in R digitando: Tracciato Time Series Dopo aver letto una serie storica in R, il passo successivo è di solito per fare un grafico dei dati di serie temporali, che si può fare con il plot. ts () funzione in R. ad esempio, per tracciare le serie storiche dell'età della morte di 42 re successivi di Inghilterra, digitiamo: possiamo vedere dalla trama momento che questa serie di tempo potrebbe probabilmente essere descritta utilizzando un modello additivo, dal momento che le fluttuazioni casuali i dati sono più o meno costante in termini di dimensioni nel tempo. Allo stesso modo, per tracciare la serie storica del numero delle nascite al mese in città di New York, digitiamo: Possiamo vedere da questa serie storica che ci sembra essere variazione stagionale nel numero delle nascite al mese: c'è un picco di ogni estate , e un trogolo ogni inverno. Ancora una volta, sembra che questa serie temporale potrebbe probabilmente essere descritta utilizzando un modello additivo, come le variazioni stagionali sono pressoché costante di dimensioni nel tempo e non sembrano dipendere dal livello della serie temporale, e le fluttuazioni casuali sembrano anche essere più o meno costante in termini di dimensioni nel tempo. Allo stesso modo, per tracciare la serie storica delle vendite mensili per il negozio di souvenir in una città balneare nel Queensland, in Australia, digitiamo: in questo caso, sembra che un modello additivo non è appropriato per descrivere questa serie di tempo, dal momento che la dimensione delle fluttuazioni stagionali e le fluttuazioni casuali sembrano aumentare con il livello della serie temporale. Pertanto, potrebbe essere necessario trasformare la serie temporale al fine di ottenere una serie temporale trasformato che può essere descritta utilizzando un modello additivo. Per esempio, possiamo trasformare la serie temporale calcolando il logaritmo naturale dei dati originali: Qui possiamo vedere che la dimensione delle fluttuazioni stagionali e le fluttuazioni casuali nella serie temporale log-trasformata sembrano essere abbastanza costante nel tempo, e fare non dipende dal livello di serie temporale. Così, le serie storiche di log-trasformati probabilmente può essere descritto utilizzando un modello additivo. Decomposizione Serie Time decomposizione una serie temporale significa separa nei suoi componenti costitutivi, che sono di solito un componente tendenza e una componente irregolare, e se si tratta di una serie temporale stagionale, una componente stagionale. Scomponendo i dati non stagionale Una serie temporali non stagionali è costituito da una componente di trend e una componente irregolare. Decomposizione serie temporali comporta cercando di separare la serie temporale in queste componenti, cioè, la stima del componente tendenza e il componente irregolare. Per stimare la componente andamento di una serie temporale non stagionale che può essere descritta utilizzando un modello additivo, è comune utilizzare un metodo di smoothing, come ad esempio il calcolo della media mobile semplice della serie temporale. La funzione SMA () nel pacchetto 8220TTR8221 R può essere utilizzato per lisciare dati di serie temporali utilizzando una media mobile semplice. Per utilizzare questa funzione, abbiamo prima bisogno di installare il pacchetto 8220TTR8221 R (per le istruzioni su come installare un pacchetto R, vedere Come installare un pacchetto R). Una volta installato il pacchetto 8220TTR8221 R, è possibile caricare il pacchetto 8220TTR8221 R digitando: È quindi possibile utilizzare il () 8221 Funzione 8220SMA per lisciare dati di serie temporali. Per utilizzare la funzione SMA (), è necessario specificare l'ordine (arco) della media mobile semplice, utilizzando il parametro 8220n8221. Ad esempio, per calcolare una media mobile semplice di ordine 5, abbiamo impostato n5 nella funzione SMA (). Ad esempio, come discusso in precedenza, la serie storica dell'età della morte di 42 re successivi di Inghilterra sembra è non stagionale, e probabilmente può essere descritto utilizzando un modello additivo, dal momento che le fluttuazioni casuali nei dati sono pressoché costante in termini di dimensioni over tempo: Quindi, possiamo cercare di stimare la componente di trend di questa serie tempo lisciando utilizzando una media mobile semplice. Per smussare le serie storiche con una semplice media mobile di ordine 3, e tracciare i dati di serie temporali levigati, digitiamo: Sembra essere ancora un bel po 'di fluttuazioni casuali nella serie storica lisciato con una semplice media mobile di ordine 3. Così, per stimare la componente di trend, più precisamente, potremmo provare a lisciare i dati con una semplice media mobile di ordine superiore. Questo richiede un po 'di tentativi ed errori, per trovare la giusta quantità di levigatura. Ad esempio, possiamo provare a utilizzare un semplice media mobile di ordine 8: I dati lisciato con una media mobile semplice di ordine 8 fornisce un quadro più chiaro della componente di trend, e possiamo vedere che l'età della morte dei re inglesi sembra sono diminuiti da circa 55 anni per circa 38 anni durante il regno dei primi 20 re, per poi aumentare dopo che per circa 73 anni dalla fine del regno del re 40 ° in serie storica. Scomponendo i dati stagionali Una serie temporale di stagione è costituito da una componente di trend, una componente stagionale e una componente irregolare. Decomposizione serie tempo significa che separa la serie temporale in queste tre componenti: ovvero stimando questi tre componenti. Per stimare la componente di trend e la componente stagionale di una serie storica di stagione che può essere descritto utilizzando un modello additivo, si può utilizzare il () 8221 funzione 8220decompose in R. Questa funzione calcola il trend, stagionalità, e fattori erratici di una serie storica che può essere descritto mediante un modello additivo. La 8220decompose function () 8221 restituisce un oggetto lista come risultato, dove le stime della componente stagionale, componente di trend e componente irregolare sono memorizzati in elementi di nome di che gli oggetti della lista, denominata 8220seasonal8221, 8220trend8221, e 8220random8221 rispettivamente. Ad esempio, come discusso in precedenza, la serie storica del numero delle nascite al mese in città di New York è stagionale, con un picco ogni estate e trogolo ogni inverno, e probabilmente può essere descritto utilizzando un modello additivo in quanto le fluttuazioni stagionali e casuali sembrano essere più o meno costante in termini di dimensioni nel tempo: Per stimare la tendenza, componenti stagionali e irregolari di questa serie tempo, tipo: I valori stimati della stagione, tendenza e componenti irregolari vengono ora memorizzati nelle variabili birthstimeseriescomponentsseasonal, birthstimeseriescomponentstrend e birthstimeseriescomponentsrandom. Ad esempio, siamo in grado di stampare i valori stimati della componente stagionale digitando: I fattori stagionali stimate sono dati per i mesi gennaio-dicembre, e sono gli stessi per ogni anno. Il più grande fattore stagionale è per luglio (circa 1,46), e il più basso è per febbraio (circa -2.08), che indica che ci sembra essere un picco delle nascite nel mese di luglio e un trogolo delle nascite nel mese di febbraio di ogni anno. Siamo in grado di tracciare il trend stimato, stagionale, e fattori erratici della serie tempo utilizzando il 8220plot () 8221 funzione, ad esempio: Il grafico qui sopra mostra la serie storica originale (in alto), la componente stimata di tendenza (seconda dall'alto), il componente stimata stagionale (terzo dall'alto), e la stima del componente irregolare (in basso). Si vede che la componente di trend stimato mostra una lieve diminuzione da circa 24 nel 1947 a circa 22 nel 1948, seguito da un aumento costante da allora in poi a circa 27 nel 1959. In stagione Regolazione Se si dispone di una serie storica di stagione che può essere descritto utilizzando un modello additivo, è possibile regolare l'stagionalmente serie temporali stimando il componente stagionale, e sottraendo il componente stagionale stimata dalla serie storica originale. Possiamo farlo utilizzando la stima della componente stagionale calcolato dal 8220decompose () 8221 la funzione. Ad esempio, per la stagione regolare la serie storica del numero delle nascite al mese in città di New York, siamo in grado di stimare la componente stagionale con 8220decompose () 8221, e quindi sottrarre la componente stagionale dalla serie storica originale: Possiamo quindi tracciare il destagionalizzato serie temporali utilizzando il 8220plot () 8221 la funzione, digitando: Si può vedere che la variazione stagionale è stato rimosso dalla serie storica destagionalizzata. La serie storica destagionalizzata ora contiene solo la componente di trend e una componente irregolare. Previsioni utilizzando esponenziale esponenziale possono essere utilizzati per fare previsioni a breve termine per i dati di serie temporali. Il livellamento esponenziale semplice Se si dispone di una serie storica che può essere descritto utilizzando un modello additivo con livello costante e non stagionalità, è possibile utilizzare semplici livellamento esponenziale di fare previsioni a breve termine. Il metodo semplice di livellamento esponenziale fornisce un metodo di valutazione del livello al punto di tempo corrente. Smoothing è controllata dal parametro alfa per la stima del livello al punto di tempo corrente. Il valore di alfa compreso tra 0 e 1. I valori di alfa che sono vicini a 0 significa che poco peso è posto sulle più recenti osservazioni quando si effettua previsioni di valori futuri. Ad esempio, il file contiene robjhyndmantsdldatahurstprecip1.dat pioggia totale annua pollici per Londra, 1.813-1.912 (dati originali da Hipel e McLeod, 1994). Siamo in grado di leggere i dati in R e tracciare digitando: Si può vedere dalla trama che non vi è più o meno il livello costante (la media rimane costante a circa 25 pollici). Le fluttuazioni casuali nella serie temporali sembrano essere più o meno costante in termini di dimensioni nel tempo, quindi è probabilmente appropriata per descrivere i dati utilizzando un modello additivo. Quindi, possiamo fare previsioni utilizzando semplici livellamento esponenziale. Per fare previsioni utilizzando semplice livellamento esponenziale in R, siamo in grado di montare un semplice modello predittivo esponenziale utilizzando le 8220HoltWinters () 8221 funzione in R. Per utilizzare HoltWinters () per semplice livellamento esponenziale, abbiamo bisogno di impostare i parametri betaFALSE e gammaFALSE nel funzione HoltWinters () (i parametri beta e gamma sono utilizzati per Holt8217s livellamento esponenziale, o Holt-Winters livellamento esponenziale, come descritto di seguito). La funzione HoltWinters () restituisce una variabile di lista, che contiene diversi elementi di nome. Ad esempio, per utilizzare semplice livellamento esponenziale di fare previsioni per la serie storica delle precipitazioni annuali a Londra, digitiamo: L'uscita di HoltWinters () ci dice che il valore stimato del parametro alpha è di circa 0.024. Questo è molto vicino allo zero, ci dice che le previsioni si basano su entrambe le osservazioni recenti e meno recenti (anche se un po 'più di peso è posto su recenti osservazioni). Per impostazione predefinita, HoltWinters () solo rende le previsioni per lo stesso periodo di tempo coperto dal nostro serie storica originale. In questo caso, la nostra serie tempo originale comprendeva precipitazioni per Londra 1813-1912, per cui le previsioni sono anche per il 1813-1912. Nell'esempio di cui sopra, abbiamo memorizzato l'uscita dei HoltWinters () funzione nella variabile di lista 8220rainseriesforecasts8221. Le previsioni fatte da HoltWinters () vengono memorizzati in un elemento di nome di questa variabile di lista chiamata 8220fitted8221, in modo che possiamo ottenere i loro valori digitando: Siamo in grado di tracciare la serie temporale originale rispetto alle previsioni digitando: Il grafico mostra la serie storica originale nero, e le previsioni come una linea rossa. La serie storica delle previsioni è molto più agevole rispetto alla serie storica dei dati originali qui. Come misura della precisione delle previsioni, possiamo calcolare la somma dei quadrati degli errori per gli errori di previsione dei campioni, cioè, gli errori di previsione per il periodo di tempo coperto dalla nostra serie temporale originale. La somma dei quadrati-errori è memorizzato in un elemento di nome della variabile di lista chiamata 8220rainseriesforecasts8221 8220SSE8221, in modo che possiamo ottenere il suo valore digitando: Cioè, qui i sum-of-squadrata errori è 1.828,855. È comune in semplice livellamento esponenziale per utilizzare il primo valore della serie temporale come valore iniziale per il livello. Ad esempio, nella serie tempo per pioggia a Londra, il primo valore è 23.56 (pollici) per la pioggia nel 1813. È possibile specificare il valore iniziale per il livello nei HoltWinters () funzione utilizzando il parametro 8220l. start8221. Ad esempio, per fare previsioni con il valore iniziale del livello impostato 23.56, digitiamo: Come spiegato in precedenza, da HoltWinters di default () solo rende le previsioni per il periodo di tempo coperto dai dati originali, che è 1813-1912 per la pioggia serie temporali. Siamo in grado di fare previsioni di ulteriori punti di tempo utilizzando le 8220forecast. HoltWinters () 8221 funzione nel pacchetto R 8220forecast8221. Per utilizzare le forecast. HoltWinters () la funzione, abbiamo prima bisogno di installare il pacchetto 8220forecast8221 R (per le istruzioni su come installare un pacchetto R, vedere Come installare un pacchetto R). Una volta installato il pacchetto 8220forecast8221 R, è possibile caricare il pacchetto 8220forecast8221 R digitando: Quando si usano i forecast. HoltWinters la funzione (), come primo argomento (ingresso), si passa il modello predittivo che è già stato montato utilizzando il HoltWinters () la funzione. Ad esempio, nel caso della serie storica delle precipitazioni, abbiamo memorizzato il modello predittivo realizzato utilizzando HoltWinters () nella variabile 8220rainseriesforecasts8221. È possibile specificare il numero di ulteriori punti di tempo che si desidera fare previsioni per utilizzando il parametro 8220h8221 in forecast. HoltWinters (). Ad esempio, per fare una previsione di pioggia per gli anni 1814-1820 (altre 8 anni) che utilizzano forecast. HoltWinters (), digitiamo: I forecast. HoltWinters () funzione che si dà la previsione per un anno, un intervallo di 80 pronostico per le previsioni, e un intervallo di 95 previsione per la previsione. Ad esempio, le precipitazioni previsto per 1920 è di circa 24.68 pollici, con un intervallo di 95 previsione di (16.24, 33.11). Per tracciare le previsioni fatte da forecast. HoltWinters (), possiamo utilizzare la 8220plot. forecast () 8221 Funzione: Ecco le previsioni per il 1913-1920 sono tracciati come una linea blu, l'intervallo di 80 previsione come un'area ombreggiato arancione, e la intervallo di 95 previsione come una zona ombreggiata gialla. Il errors8217 8216forecast sono calcolati come i valori osservati meno valori previsti, per ogni punto di tempo. Possiamo calcolare solo gli errori di previsione per il periodo di tempo coperto dal nostro serie storica originale, che è 1813-1912 per i dati a pioggia. Come accennato in precedenza, una misura della precisione del modello predittivo è la somma-of-the-errori al quadrato (SSE) per gli errori di previsione in-campione. L'in-campione di errori di previsione sono memorizzati nell'elemento chiamato 8220residuals8221 della variabile lista restituita da forecast. HoltWinters (). Se il modello predittivo non può essere migliorato, non ci dovrebbero essere le correlazioni tra errori di previsione per le previsioni successive. In altre parole, se ci sono correlazioni tra errori di previsioni per predizioni successive, è probabile che le semplici previsioni livellamento esponenziale potrebbero essere migliorati da un'altra tecnica di previsione. Per capire se questo è il caso, siamo in grado di ottenere un correlogramma degli errori di previsione in-campione per ritardi 1-20. Siamo in grado di calcolare un correlogramma degli errori di previsione utilizzando il 8220acf () 8221 funzione in R. Per specificare il massimo ritardo che vogliamo guardare, usiamo il parametro 8220lag. max8221 a ACF (). Ad esempio, per calcolare un correlogramma degli errori di previsione in-campione per i dati delle precipitazioni di Londra per ritardi 1-20, digitiamo: Si può vedere dalla correlogramma del campione che l'autocorrelazione al ritardo 3 è solo toccando i limiti di significatività. Per verificare se ci sono prove significative correlazioni diversi da zero a ritardi 1-20, siamo in grado di effettuare un test di Ljung-Box. Questo può essere fatto in R usando l'8220Box. test () 8221, funzione. Il ritardo massimo che vogliamo guardare è specificato utilizzando il parametro 8220lag8221 nella funzione Box. test (). Ad esempio, per verificare se ci sono autocorrelazioni diverse da zero a ritardi 1-20, per gli errori di previsione in-campione per i dati delle precipitazioni Londra, digitiamo: Ecco la prova statistica Ljung-Box è 17,4, e il p-value è pari a 0,6 , quindi ci sono poche prove di autocorrelazioni diversi da zero negli errori di previsione in-campione a GAL 1-20. Per essere sicuri che il modello predittivo non può essere migliorato, ma è anche una buona idea per verificare se gli errori di previsione sono distribuiti normalmente con media zero e varianza costante. Per verificare se gli errori di previsione hanno varianza costante, possiamo fare un grafico tempo degli errori di previsione in-campione: Il grafico mostra che l'in-campione di errori di previsione sembrano avere più o meno costante varianza nel tempo, anche se la dimensione delle fluttuazioni l'inizio della serie storica (1820-1830) potrebbe essere leggermente inferiore a quella in epoche successive (ad es. 1840-1850). Per verificare se gli errori di previsione sono distribuiti normalmente con media pari a zero, siamo in grado di tracciare un istogramma degli errori di previsione, con una curva normale sovrapposto che ha media zero e la stessa deviazione standard come la distribuzione degli errori di previsione. Per fare questo, siamo in grado di definire una funzione R 8220plotForecastErrors () 8221, qui di seguito: Si dovrà copiare la funzione di cui sopra in R al fine di utilizzarlo. È quindi possibile utilizzare plotForecastErrors () per tracciare un istogramma (con sovrapposto curva normale) degli errori di previsione per le previsioni delle precipitazioni: Il grafico mostra che la distribuzione degli errori di previsione è più o meno centrato sullo zero, ed è più o meno normalmente distribuita, anche se sembra essere leggermente inclinata verso destra rispetto a una curva normale. Tuttavia, l'inclinazione a destra è relativamente piccolo, e così è plausibile che errori di previsione sono distribuiti normalmente con media zero. Il test di Ljung-Box ha dimostrato che non ci sono prove di autocorrelazioni diversi da zero a errori di previsione a campione, e la distribuzione degli errori di previsione sembra essere distribuita normalmente con media pari a zero. Ciò suggerisce che il semplice metodo di livellamento esponenziale fornisce un modello predittivo adeguato per Londra precipitazioni, che probabilmente non può essere migliorato. Inoltre, le ipotesi che gli intervalli 80 e 95 previsioni si basavano su (che non ci sono autocorrelazioni nei errori di previsione, e gli errori di previsione sono distribuiti normalmente con media zero e varianza costante) sono probabilmente validi. Holt8217s esponenziale Se si dispone di una serie storica che può essere descritto utilizzando un modello additivo con l'aumento o in diminuzione di tendenza e non stagionalità, è possibile utilizzare Holt8217s livellamento esponenziale di fare previsioni a breve termine. Holt8217s livellamento esponenziale stima il livello e la pendenza nel punto di tempo corrente. Smoothing è controllato da due parametri, alfa, per la stima del livello al punto di tempo corrente e beta per la stima della pendenza b del componente tendenza al punto di tempo corrente. Come con la semplice livellamento esponenziale, il paramters alfa e beta hanno valori compresi tra 0 e 1, e valori che sono vicino a 0 significa che poco peso è posto sulle più recenti osservazioni quando si effettua previsioni di valori futuri. Un esempio di una serie storica che probabilmente può essere descritta utilizzando un modello additivo con una tendenza e non stagionalità è la serie storica del diametro annuale di gonne women8217s presso l'orlo, dal 1866 al 1911. I dati sono disponibili nelle robjhyndmantsdldatarobertsskirts di file. dat (dati originali da Hipel e McLeod, 1994). Siamo in grado di leggere e tracciare i dati in R digitando: Possiamo vedere dalla trama che vi è stato un aumento del diametro orlo da circa 600 nel 1866 a circa 1050 nel 1880, e che poi il diametro orlo scesa a circa 520 nel 1911 . per fare previsioni, siamo in grado di adattare un modello predittivo utilizzando i HoltWinters () in R. per utilizzare HoltWinters () per Holt8217s livellamento esponenziale, abbiamo bisogno di impostare il parametro gammaFALSE (il parametro di gamma viene utilizzato per Holt-Winters livellamento esponenziale, come descritto sotto). Ad esempio, per utilizzare Holt8217s livellamento esponenziale per adattarsi a un modello predittivo per il diametro orlo gonna, digitiamo: Il valore stimato di alfa è 0,84, e di beta è 1,00. Questi sono entrambi alti, ci dice che sia la stima del valore corrente del livello e della pendenza b della componente dinamica, si basano principalmente sulla molto recenti osservazioni della serie temporale. Questo fa buon senso intuitivo, poiché il livello e la pendenza della serie temporale sia cambiano parecchio nel tempo. Il valore della somma-di-squared-errori per gli errori di previsione in-campione è 16954. Si può tracciare la serie temporale originale come una linea nera, con i valori previsti come una linea rossa in cima a quello, digitando: Noi può vedere dalla foto che le previsioni in-campione concordano abbastanza bene con i valori osservati, anche se tendono a restare indietro i valori osservati un po '. Se lo si desidera, è possibile specificare i valori iniziali del livello e la pendenza B del componente di tendenza utilizzando i 8220l. start8221 e 8220b. start8221 argomenti per i HoltWinters () la funzione. È comune per impostare il valore iniziale del livello al primo valore della serie temporale (608 per i dati gonne), e il valore iniziale della pendenza al secondo valore meno il primo valore (9 per i dati gonne). Ad esempio, per adattarsi a un modello predittivo per i dati orlo gonna utilizzando Holt8217s livellamento esponenziale, con i valori iniziali di 608 per il livello e 9 per il coefficiente angolare b della componente di trend, digitiamo: Per quanto riguarda la semplice livellamento esponenziale, siamo in grado di fare previsioni per i tempi futuri non coperti dalla serie storica originale utilizzando i forecast. HoltWinters function () nel pacchetto 8220forecast8221. Ad esempio, i nostri dati di serie temporali per orli gonna era di 1866-1911, in modo che possiamo fare previsioni per 1912-1930 (19 più punti di dati), e tracciare, digitando: Le previsioni sono mostrate come una linea blu, con la 80 intervalli di previsione come una zona ombreggiato arancione, e gli intervalli di previsione 95 come una zona ombreggiata giallo. Per quanto riguarda la semplice livellamento esponenziale, siamo in grado di verificare se il modello predittivo potrebbe essere migliorata controllando se l'in-campione di errori di previsione mostrano autocorrelazioni diverse da zero a ritardi 1-20. Ad esempio, per i dati orlo gonna, possiamo fare un correlogramma, ed eseguire il test di Ljung-Box, digitando: Qui il correlogramma mostra che l'autocorrelazione campione per gli errori di previsione in-campione a ritardo 5 supera i limiti di significatività. Tuttavia, ci si aspetterebbe uno in 20 delle autocorrelazioni per i primi venti in ritardo di superare i limiti di significatività 95 solo per caso. In effetti, quando effettuiamo il test Ljung-Box, il p-value è 0,47, che indica che ci sono poche prove di autocorrelazioni diversi da zero negli errori di previsione in-campione a GAL 1-20. Per quanto riguarda la semplice livellamento esponenziale, dobbiamo anche verificare che gli errori di previsione hanno varianza costante nel tempo, e sono normalmente distribuiti con media pari a zero. Possiamo farlo facendo un diagramma tempo di errori di previsione, e un istogramma della distribuzione degli errori di previsione con una curva normale sovrapposto: La trama tempo di errori di previsione mostra che gli errori di previsione sono pressoché costante variabilità nel tempo. L'istogramma degli errori di previsione mostrano che è plausibile che gli errori di previsione sono distribuiti normalmente con media zero e varianza costante. Così, il test di Ljung-Box dimostra che non ci sono prove di autocorrelazioni nei errori di previsione, mentre la trama tempo e l'istogramma degli errori di previsione mostrano che è plausibile che gli errori di previsione sono distribuiti normalmente con media zero e varianza costante. Quindi, possiamo concludere che Holt8217s livellamento esponenziale fornisce un modello predittivo adeguato per diametri orlo gonna, che probabilmente non possono essere migliorate. Inoltre, ciò significa che le ipotesi che gli intervalli 80 e 95 previsioni erano basate su sono probabilmente validi. Holt-Winters esponenziale Se si dispone di una serie storica che può essere descritto utilizzando un modello additivo con l'aumento o in diminuzione tendenza e la stagionalità, è possibile utilizzare Holt-Winters livellamento esponenziale di fare previsioni a breve termine. Holt-Winters livellamento esponenziale stima il livello, pendenza e componente stagionale al punto di tempo corrente. Smoothing è controllato da tre parametri: alfa, beta e gamma, per le stime del livello, coefficiente angolare b della componente di trend, e la componente stagionale, rispettivamente, al punto di tempo corrente. I parametri alfa, beta e gamma tutti hanno valori compresi tra 0 e 1, e valori che sono vicino a 0 significa che relativamente poco peso è posto sulle più recenti osservazioni quando si effettua previsioni di valori futuri. Un esempio di una serie storica che probabilmente può essere descritto utilizzando un modello additivo con un trend e alla stagionalità è la serie storica del registro delle vendite mensili per il negozio di souvenir in una città balneare nel Queensland, Australia (discusso in precedenza): Per fare previsioni, siamo in grado di montare un modello predittivo utilizzando i HoltWinters la funzione (). Ad esempio, per montare un modello predittivo per il registro delle vendite mensili nel negozio di souvenir, digitiamo: I valori stimati di alfa, beta e gamma sono 0,41, 0,00 e 0,96, rispettivamente. Il valore di alfa (0.41) è relativamente basso, indicando che la stima del livello al punto di tempo corrente si basa su entrambi i recenti osservazioni e alcune osservazioni nel passato più lontano. Il valore di beta è 0,00, che indica che la stima della pendenza b del componente curve non viene aggiornata sulla serie temporale, e invece è impostato uguale al suo valore iniziale. Questo fa buon senso intuitivo, come il livello cambia un po 'sopra la serie storica, ma il coefficiente angolare b della componente di trend rimane più o meno lo stesso. Al contrario, il valore della gamma (0.96) è elevato, indicando che la stima della componente stagionale nel punto ora corrente è basato su molto recenti osservazioni. Per quanto riguarda la semplice livellamento esponenziale e Holt8217s livellamento esponenziale, siamo in grado di tracciare la serie temporale originale come una linea nera, con i valori previsti come una linea rossa in cima che: Vediamo dalla trama che il metodo esponenziale di Holt-Winters è un grande successo nel prevedere i picchi stagionali, che ogni anno si verificano circa nel mese di novembre. Per fare previsioni per i tempi futuri non inclusi nella serie storica originale, usiamo le 8220forecast. HoltWinters () 8221 funzione nel pacchetto 8220forecast8221. Ad esempio, i dati originali per le vendite di souvenir è dal gennaio 1987 al dicembre 1993. Se volessimo fare previsioni per il gennaio 1994 al dicembre 1998 (48 mesi) di più, e tracciare le previsioni, dovremmo digitare: Le previsioni sono mostrati come una linea blu, e l'arancio e zone d'ombra gialle mostrano intervalli di 80 e 95 di previsione, rispettivamente. Siamo in grado di verificare se il modello predittivo può essere migliorato controllando se l'in-campione di errori di previsione mostrano autocorrelazioni diverse da zero a ritardi 1-20, facendo una correlogramma e di effettuare il test Ljung-Box: Il correlogramma mostra che le autocorrelazioni per l'in-campione di errori di previsione non superano i limiti di significatività per ritardi 1-20. Inoltre, il p-value per i test di Ljung-Box è 0,6, che indica che ci sono poche prove di autocorrelazioni diversi da zero a ritardi 1-20. Siamo in grado di verificare se i errori di previsione hanno varianza costante nel tempo, e sono normalmente distribuiti con media pari a zero, facendo un diagramma temporale dei errori di previsione e un istogramma (con sovrapposto curva normale): Dalla trama tempo, sembra plausibile che il errori di previsione hanno varianza costante nel tempo. Dalla istogramma degli errori di previsione, sembra plausibile che gli errori di previsione sono distribuiti normalmente con media zero. Quindi, non ci sono prove di autocorrelazione a rallentamenti 1-20 per gli errori di previsione, e gli errori di previsione sembrano essere distribuita normalmente con media zero e varianza costante nel tempo. This suggests that Holt-Winters exponential smoothing provides an adequate predictive model of the log of sales at the souvenir shop, which probably cannot be improved upon. Furthermore, the assumptions upon which the prediction intervals were based are probably valid. ARIMA Models Exponential smoothing methods are useful for making forecasts, and make no assumptions about the correlations between successive values of the time series. However, if you want to make prediction intervals for forecasts made using exponential smoothing methods, the prediction intervals require that the forecast errors are uncorrelated and are normally distributed with mean zero and constant variance. While exponential smoothing methods do not make any assumptions about correlations between successive values of the time series, in some cases you can make a better predictive model by taking correlations in the data into account. Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) models include an explicit statistical model for the irregular component of a time series, that allows for non-zero autocorrelations in the irregular component. Differencing a Time Series ARIMA models are defined for stationary time series. Therefore, if you start off with a non-stationary time series, you will first need to 8216difference8217 the time series until you obtain a stationary time series. If you have to difference the time series d times to obtain a stationary series, then you have an ARIMA(p, d,q) model, where d is the order of differencing used. You can difference a time series using the 8220diff()8221 function in R. For example, the time series of the annual diameter of women8217s skirts at the hem, from 1866 to 1911 is not stationary in mean, as the level changes a lot over time: We can difference the time series (which we stored in 8220skirtsseries8221, see above) once, and plot the differenced series, by typing: The resulting time series of first differences (above) does not appear to be stationary in mean. Therefore, we can difference the time series twice, to see if that gives us a stationary time series: Formal tests for stationarity Formal tests for stationarity called 8220unit root tests8221 are available in the fUnitRoots package, available on CRAN, but will not be discussed here. The time series of second differences (above) does appear to be stationary in mean and variance, as the level of the series stays roughly constant over time, and the variance of the series appears roughly constant over time. Thus, it appears that we need to difference the time series of the diameter of skirts twice in order to achieve a stationary series. If you need to difference your original time series data d times in order to obtain a stationary time series, this means that you can use an ARIMA(p, d,q) model for your time series, where d is the order of differencing used. For example, for the time series of the diameter of women8217s skirts, we had to difference the time series twice, and so the order of differencing (d) is 2. This means that you can use an ARIMA(p,2,q) model for your time series. The next step is to figure out the values of p and q for the ARIMA model. Another example is the time series of the age of death of the successive kings of England (see above): From the time plot (above), we can see that the time series is not stationary in mean. To calculate the time series of first differences, and plot it, we type: The time series of first differences appears to be stationary in mean and variance, and so an ARIMA(p,1,q) model is probably appropriate for the time series of the age of death of the kings of England. By taking the time series of first differences, we have removed the trend component of the time series of the ages at death of the kings, and are left with an irregular component. We can now examine whether there are correlations between successive terms of this irregular component if so, this could help us to make a predictive model for the ages at death of the kings. Selecting a Candidate ARIMA Model If your time series is stationary, or if you have transformed it to a stationary time series by differencing d times, the next step is to select the appropriate ARIMA model, which means finding the values of most appropriate values of p and q for an ARIMA(p, d,q) model. To do this, you usually need to examine the correlogram and partial correlogram of the stationary time series. To plot a correlogram and partial correlogram, we can use the 8220acf()8221 and 8220pacf()8221 functions in R, respectively. To get the actual values of the autocorrelations and partial autocorrelations, we set 8220plotFALSE8221 in the 8220acf()8221 and 8220pacf()8221 functions. Example of the Ages at Death of the Kings of England For example, to plot the correlogram for lags 1-20 of the once differenced time series of the ages at death of the kings of England, and to get the values of the autocorrelations, we type: We see from the correlogram that the autocorrelation at lag 1 (-0.360) exceeds the significance bounds, but all other autocorrelations between lags 1-20 do not exceed the significance bounds. To plot the partial correlogram for lags 1-20 for the once differenced time series of the ages at death of the English kings, and get the values of the partial autocorrelations, we use the 8220pacf()8221 function, by typing: The partial correlogram shows that the partial autocorrelations at lags 1, 2 and 3 exceed the significance bounds, are negative, and are slowly decreasing in magnitude with increasing lag (lag 1: -0.360, lag 2: -0.335, lag 3:-0.321). The partial autocorrelations tail off to zero after lag 3. Since the correlogram is zero after lag 1, and the partial correlogram tails off to zero after lag 3, this means that the following ARMA (autoregressive moving average) models are possible for the time series of first differences: an ARMA(3,0) model, that is, an autoregressive model of order p3, since the partial autocorrelogram is zero after lag 3, and the autocorrelogram tails off to zero (although perhaps too abruptly for this model to be appropriate) an ARMA(0,1) model, that is, a moving average model of order q1, since the autocorrelogram is zero after lag 1 and the partial autocorrelogram tails off to zero an ARMA(p, q) model, that is, a mixed model with p and q greater than 0, since the autocorrelogram and partial correlogram tail off to zero (although the correlogram probably tails off to zero too abruptly for this model to be appropriate) We use the principle of parsimony to decide which model is best: that is, we assume that the model with the fewest parameters is best. The ARMA(3,0) model has 3 parameters, the ARMA(0,1) model has 1 parameter, and the ARMA(p, q) model has at least 2 parameters. Therefore, the ARMA(0,1) model is taken as the best model. An ARMA(0,1) model is a moving average model of order 1, or MA(1) model. This model can be written as: Xt - mu Zt - (theta Zt-1), where Xt is the stationary time series we are studying (the first differenced series of ages at death of English kings), mu is the mean of time series Xt, Zt is white noise with mean zero and constant variance, and theta is a parameter that can be estimated. A MA (moving average) model is usually used to model a time series that shows short-term dependencies between successive observations. Intuitively, it makes good sense that a MA model can be used to describe the irregular component in the time series of ages at death of English kings, as we might expect the age at death of a particular English king to have some effect on the ages at death of the next king or two, but not much effect on the ages at death of kings that reign much longer after that. Shortcut: the auto. arima() function The auto. arima() function can be used to find the appropriate ARIMA model, eg. type 8220library(forecast)8221, then 8220auto. arima(kings)8221. The output says an appropriate model is ARIMA(0,1,1). Since an ARMA(0,1) model (with p0, q1) is taken to be the best candidate model for the time series of first differences of the ages at death of English kings, then the original time series of the ages of death can be modelled using an ARIMA(0,1,1) model (with p0, d1, q1, where d is the order of differencing required). Example of the Volcanic Dust Veil in the Northern Hemisphere Let8217s take another example of selecting an appropriate ARIMA model. The file file robjhyndmantsdldataannualdvi. dat contains data on the volcanic dust veil index in the northern hemisphere, from 1500-1969 (original data from Hipel and Mcleod, 1994). This is a measure of the impact of volcanic eruptions8217 release of dust and aerosols into the environment. We can read it into R and make a time plot by typing: From the time plot, it appears that the random fluctuations in the time series are roughly constant in size over time, so an additive model is probably appropriate for describing this time series. Furthermore, the time series appears to be stationary in mean and variance, as its level and variance appear to be roughly constant over time. Therefore, we do not need to difference this series in order to fit an ARIMA model, but can fit an ARIMA model to the original series (the order of differencing required, d, is zero here). We can now plot a correlogram and partial correlogram for lags 1-20 to investigate what ARIMA model to use: We see from the correlogram that the autocorrelations for lags 1, 2 and 3 exceed the significance bounds, and that the autocorrelations tail off to zero after lag 3. The autocorrelations for lags 1, 2, 3 are positive, and decrease in magnitude with increasing lag (lag 1: 0.666, lag 2: 0.374, lag 3: 0.162). The autocorrelation for lags 19 and 20 exceed the significance bounds too, but it is likely that this is due to chance, since they just exceed the significance bounds (especially for lag 19), the autocorrelations for lags 4-18 do not exceed the signifiance bounds, and we would expect 1 in 20 lags to exceed the 95 significance bounds by chance alone. From the partial autocorrelogram, we see that the partial autocorrelation at lag 1 is positive and exceeds the significance bounds (0.666), while the partial autocorrelation at lag 2 is negative and also exceeds the significance bounds (-0.126). The partial autocorrelations tail off to zero after lag 2. Since the correlogram tails off to zero after lag 3, and the partial correlogram is zero after lag 2, the following ARMA models are possible for the time series: an ARMA(2,0) model, since the partial autocorrelogram is zero after lag 2, and the correlogram tails off to zero after lag 3, and the partial correlogram is zero after lag 2 an ARMA(0,3) model, since the autocorrelogram is zero after lag 3, and the partial correlogram tails off to zero (although perhaps too abruptly for this model to be appropriate) an ARMA(p, q) mixed model, since the correlogram and partial correlogram tail off to zero (although the partial correlogram perhaps tails off too abruptly for this model to be appropriate) Shortcut: the auto. arima() function Again, we can use auto. arima() to find an appropriate model, by typing 8220auto. arima(volcanodust)8221, which gives us ARIMA(1,0,2), which has 3 parameters. However, different criteria can be used to select a model (see auto. arima() help page). If we use the 8220bic8221 criterion, which penalises the number of parameters, we get ARIMA(2,0,0), which is ARMA(2,0): 8220auto. arima(volcanodust, ic8221bic8221)8221. The ARMA(2,0) model has 2 parameters, the ARMA(0,3) model has 3 parameters, and the ARMA(p, q) model has at least 2 parameters. Therefore, using the principle of parsimony, the ARMA(2,0) model and ARMA(p, q) model are equally good candidate models. An ARMA(2,0) model is an autoregressive model of order 2, or AR(2) model. This model can be written as: Xt - mu (Beta1 (Xt-1 - mu)) (Beta2 (Xt-2 - mu)) Zt, where Xt is the stationary time series we are studying (the time series of volcanic dust veil index), mu is the mean of time series Xt, Beta1 and Beta2 are parameters to be estimated, and Zt is white noise with mean zero and constant variance. An AR (autoregressive) model is usually used to model a time series which shows longer term dependencies between successive observations. Intuitively, it makes sense that an AR model could be used to describe the time series of volcanic dust veil index, as we would expect volcanic dust and aerosol levels in one year to affect those in much later years, since the dust and aerosols are unlikely to disappear quickly. If an ARMA(2,0) model (with p2, q0) is used to model the time series of volcanic dust veil index, it would mean that an ARIMA(2,0,0) model can be used (with p2, d0, q0, where d is the order of differencing required). Similarly, if an ARMA(p, q) mixed model is used, where p and q are both greater than zero, than an ARIMA(p,0,q) model can be used. Forecasting Using an ARIMA Model Once you have selected the best candidate ARIMA(p, d,q) model for your time series data, you can estimate the parameters of that ARIMA model, and use that as a predictive model for making forecasts for future values of your time series. You can estimate the parameters of an ARIMA(p, d,q) model using the 8220arima()8221 function in R. Example of the Ages at Death of the Kings of England For example, we discussed above that an ARIMA(0,1,1) model seems a plausible model for the ages at deaths of the kings of England. You can specify the values of p, d and q in the ARIMA model by using the 8220order8221 argument of the 8220arima()8221 function in R. To fit an ARIMA(p, d,q) model to this time series (which we stored in the variable 8220kingstimeseries8221, see above), we type: As mentioned above, if we are fitting an ARIMA(0,1,1) model to our time series, it means we are fitting an an ARMA(0,1) model to the time series of first differences. An ARMA(0,1) model can be written Xt - mu Zt - (theta Zt-1), where theta is a parameter to be estimated. From the output of the 8220arima()8221 R function (above), the estimated value of theta (given as 8216ma18217 in the R output) is -0.7218 in the case of the ARIMA(0,1,1) model fitted to the time series of ages at death of kings. Specifying the confidence level for prediction intervals You can specify the confidence level for prediction intervals in forecast. Arima() by using the 8220level8221 argument. For example, to get a 99.5 prediction interval, we would type 8220forecast. Arima(kingstimeseriesarima, h5, levelc(99.5))8221. We can then use the ARIMA model to make forecasts for future values of the time series, using the 8220forecast. Arima()8221 function in the 8220forecast8221 R package. For example, to forecast the ages at death of the next five English kings, we type: The original time series for the English kings includes the ages at death of 42 English kings. The forecast. Arima() function gives us a forecast of the age of death of the next five English kings (kings 43-47), as well as 80 and 95 prediction intervals for those predictions. The age of death of the 42nd English king was 56 years (the last observed value in our time series), and the ARIMA model gives the forecasted age at death of the next five kings as 67.8 years. We can plot the observed ages of death for the first 42 kings, as well as the ages that would be predicted for these 42 kings and for the next 5 kings using our ARIMA(0,1,1) model, by typing: As in the case of exponential smoothing models, it is a good idea to investigate whether the forecast errors of an ARIMA model are normally distributed with mean zero and constant variance, and whether the are correlations between successive forecast errors. For example, we can make a correlogram of the forecast errors for our ARIMA(0,1,1) model for the ages at death of kings, and perform the Ljung-Box test for lags 1-20, by typing: Since the correlogram shows that none of the sample autocorrelations for lags 1-20 exceed the significance bounds, and the p-value for the Ljung-Box test is 0.9, we can conclude that there is very little evidence for non-zero autocorrelations in the forecast errors at lags 1-20. To investigate whether the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance, we can make a time plot and histogram (with overlaid normal curve) of the forecast errors: The time plot of the in-sample forecast errors shows that the variance of the forecast errors seems to be roughly constant over time (though perhaps there is slightly higher variance for the second half of the time series). The histogram of the time series shows that the forecast errors are roughly normally distributed and the mean seems to be close to zero. Therefore, it is plausible that the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance. Since successive forecast errors do not seem to be correlated, and the forecast errors seem to be normally distributed with mean zero and constant variance, the ARIMA(0,1,1) does seem to provide an adequate predictive model for the ages at death of English kings. Example of the Volcanic Dust Veil in the Northern Hemisphere We discussed above that an appropriate ARIMA model for the time series of volcanic dust veil index may be an ARIMA(2,0,0) model. To fit an ARIMA(2,0,0) model to this time series, we can type: As mentioned above, an ARIMA(2,0,0) model can be written as: written as: Xt - mu (Beta1 (Xt-1 - mu)) (Beta2 (Xt-2 - mu)) Zt, where Beta1 and Beta2 are parameters to be estimated. The output of the arima() function tells us that Beta1 and Beta2 are estimated as 0.7533 and -0.1268 here (given as ar1 and ar2 in the output of arima()). Now we have fitted the ARIMA(2,0,0) model, we can use the 8220forecast. ARIMA()8221 model to predict future values of the volcanic dust veil index. The original data includes the years 1500-1969. To make predictions for the years 1970-2000 (31 more years), we type: We can plot the original time series, and the forecasted values, by typing: One worrying thing is that the model has predicted negative values for the volcanic dust veil index, but this variable can only have positive values The reason is that the arima() and forecast. Arima() functions don8217t know that the variable can only take positive values. Clearly, this is not a very desirable feature of our current predictive model. Again, we should investigate whether the forecast errors seem to be correlated, and whether they are normally distributed with mean zero and constant variance. To check for correlations between successive forecast errors, we can make a correlogram and use the Ljung-Box test: The correlogram shows that the sample autocorrelation at lag 20 exceeds the significance bounds. However, this is probably due to chance, since we would expect one out of 20 sample autocorrelations to exceed the 95 significance bounds. Furthermore, the p-value for the Ljung-Box test is 0.2, indicating that there is little evidence for non-zero autocorrelations in the forecast errors for lags 1-20. To check whether the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance, we make a time plot of the forecast errors, and a histogram: The time plot of forecast errors shows that the forecast errors seem to have roughly constant variance over time. However, the time series of forecast errors seems to have a negative mean, rather than a zero mean. We can confirm this by calculating the mean forecast error, which turns out to be about -0.22: The histogram of forecast errors (above) shows that although the mean value of the forecast errors is negative, the distribution of forecast errors is skewed to the right compared to a normal curve. Therefore, it seems that we cannot comfortably conclude that the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance Thus, it is likely that our ARIMA(2,0,0) model for the time series of volcanic dust veil index is not the best model that we could make, and could almost definitely be improved upon Links and Further Reading Here are some links for further reading. For a more in-depth introduction to R, a good online tutorial is available on the 8220Kickstarting R8221 website, cran. r-project. orgdoccontribLemon-kickstart . There is another nice (slightly more in-depth) tutorial to R available on the 8220Introduction to R8221 website, cran. r-project. orgdocmanualsR-intro. html . You can find a list of R packages for analysing time series data on the CRAN Time Series Task View webpage . To learn about time series analysis, I would highly recommend the book 8220Time series8221 (product code M24902) by the Open University, available from the Open University Shop . There are two books available in the 8220Use R8221 series on using R for time series analyses, the first is Introductory Time Series with R by Cowpertwait and Metcalfe, and the second is Analysis of Integrated and Cointegrated Time Series with R by Pfaff. Acknowledgements I am grateful to Professor Rob Hyndman. for kindly allowing me to use the time series data sets from his Time Series Data Library (TSDL) in the examples in this booklet. Many of the examples in this booklet are inspired by examples in the excellent Open University book, 8220Time series8221 (product code M24902), available from the Open University Shop . Thank you to Ravi Aranke for bringing auto. arima() to my attention, and Maurice Omane-Adjepong for bringing unit root tests to my attention, and Christian Seubert for noticing a small bug in plotForecastErrors(). Thank you for other comments to Antoine Binard and Bill Johnston. I will be grateful if you will send me (Avril Coghlan) corrections or suggestions for improvements to my email address alc 64 sanger 46 ac 46 uk2.1 Moving Average Models (MA models) Time series models known as ARIMA models may include autoregressive terms andor moving average terms. In settimana 1, abbiamo imparato un termine autoregressivo in un modello di serie temporale per la variabile x t è un valore ritardato di x t. Per esempio, un ritardo 1 termine autoregressivo è x t-1 (moltiplicato per un coefficiente). Questa lezione definisce lo spostamento termini medi. Un termine media mobile in un modello di serie storica è un errore di passato (moltiplicata per un coefficiente). Sia (wt Overset N (0, sigma2w)), il che significa che la w t sono identicamente, indipendentemente distribuite, ciascuna con una distribuzione normale con media 0 e la stessa varianza. Il modello a media mobile 1 ° ordine, indicato con MA (1) è (xt mu peso theta1w) L'ordine di 2 ° modello a media mobile, indicato con MA (2) è (mu XT peso theta1w theta2w) La q ° ordine modello a media mobile , indicato con MA (q) è (MU XT WT theta1w theta2w punti thetaqw) Nota. Molti libri di testo e programmi software definiscono il modello con segni negativi prima dei termini. Ciò non modificare le proprietà teoriche generali del modello, anche se non capovolgere i segni algebrici di valori dei coefficienti stimati ei termini (unsquared) nelle formule per ACFS e varianze. È necessario controllare il software per verificare se vi siano segni negativi o positivi sono stati utilizzati al fine di scrivere correttamente il modello stimato. R utilizza segnali positivi nel suo modello di base, come facciamo qui. Proprietà teoriche di una serie storica con un MA (1) Modello nota che l'unico valore diverso da zero nella ACF teorico è di lag 1. Tutti gli altri autocorrelazioni sono 0. Quindi un ACF campione con un autocorrelazione significativa solo in ritardo 1 è un indicatore di un possibile MA (1) modello. Per gli studenti interessati, prove di queste proprietà sono in appendice a questo volantino. Esempio 1 Supponiamo che un MA (1) modello è x t 10 w t 0,7 w t-1. dove (WT overset N (0,1)). Così il coefficiente 1 0.7. L'ACF teorica è data da una trama di questa ACF segue. La trama appena mostrato è l'ACF teorico per un MA (1) con 1 0.7. In pratica, un campione abituato di solito forniscono un modello così chiara. Utilizzando R, abbiamo simulato n 100 valori di esempio utilizzando il modello x t 10 w t 0,7 w t-1 dove w t IID N (0,1). Per questa simulazione, un appezzamento serie storica dei dati di esempio segue. Non possiamo dire molto da questa trama. L'ACF campione per i dati simulati segue. Vediamo un picco in ritardo 1 seguito da valori generalmente non significativi per ritardi passato 1. Si noti che il campione ACF non corrisponde al modello teorico della MA sottostante (1), vale a dire che tutte le autocorrelazioni per i ritardi del passato 1 saranno 0 . un campione diverso avrebbe un po 'diverso ACF esempio riportato di seguito, ma probabilmente hanno le stesse caratteristiche generali. Theroretical proprietà di una serie storica con un modello MA (2) Per la (2) il modello MA, proprietà teoriche sono i seguenti: Si noti che gli unici valori diversi da zero nel ACF teorica sono per ritardi 1 e 2. Autocorrelazioni per ritardi superiori sono 0 . Così, un ACF campione con autocorrelazioni significativi a ritardi 1 e 2, ma autocorrelazioni non significative per ritardi più elevato indica una possibile mA (2) modello. iid N (0,1). I coefficienti sono 1 0,5 e 2 0.3. Poiché si tratta di un MA (2), l'ACF teorica avrà valori diversi da zero solo in caso di ritardi 1 e 2. I valori delle due autocorrelazioni diversi da zero sono un grafico della ACF teorica segue. è come quasi sempre accade, i dati di esempio solito si comportano abbastanza così perfettamente come teoria. Abbiamo simulato n 150 valori di esempio per il modello x t 10 w t 0,5 w t-1 .3 w t-2. dove w t iid N (0,1). La trama serie storica dei dati segue. Come con la trama serie per la MA (1) i dati di esempio, non puoi dire molto da esso. L'ACF campione per i dati simulati segue. Il modello è tipico per le situazioni in cui un modello MA (2) può essere utile. Ci sono due picchi statisticamente significative a ritardi 1 e 2 seguiti da valori non significativi per altri ritardi. Si noti che a causa di errore di campionamento, l'ACF campione non corrisponde al modello teorico esattamente. ACF per General MA (q) Models Una proprietà di modelli MA (q), in generale, è che ci sono autocorrelazioni diversi da zero per i primi ritardi Q e autocorrelazioni 0 per tutti i GAL gt q. Non unicità di collegamento tra i valori di 1 e (rho1) in MA (1) Modello. Nella (1) Modello MA, per qualsiasi valore di 1. il reciproco 1 1 dà lo stesso valore per esempio, utilizzare 0,5 per 1. e quindi utilizzare 1 (0,5) 2 per 1. Youll ottenere (rho1) 0,4 in entrambi i casi. Per soddisfare una limitazione teorica chiamato invertibilità. abbiamo limitare MA (1) modelli di avere valori con valore assoluto inferiore 1. Nell'esempio appena dato, 1 0.5 sarà un valore di parametro ammissibile, che non sarà 1 10.5 2. Invertibilità dei modelli MA Un modello MA si dice che sia invertibile se è algebricamente equivalente a un modello AR ordine infinito convergenti. Facendo convergere, si intende che i coefficienti AR diminuiscono a 0 mentre ci muoviamo indietro nel tempo. Invertibilità è una limitazione programmata nel software di serie storiche utilizzate per stimare i coefficienti dei modelli con i termini MA. La sua non è una cosa che controlliamo per l'analisi dei dati. Ulteriori informazioni sul restrizione invertibilit'a per MA (1) modelli è riportato in appendice. Avanzate teoria Note. Per un modello MA (q) con un determinato ACF, vi è un solo modello invertibile. La condizione necessaria per invertibilità è che i coefficienti hanno valori tali che l'equazione 1- 1 y-. - Q q y 0 ha soluzioni per y che non rientrano nel cerchio unitario. R Codice per gli esempi in Esempio 1, abbiamo tracciato l'ACF teorica del modello x t 10 w t. 7W t-1. e poi simulato n 150 valori di questo modello e tracciato le serie temporali del campione e l'ACF campione per i dati simulati. I comandi R utilizzati per tracciare la ACF teoriche sono state: acfma1ARMAacf (Mac (0,7), lag. max10) 10 ritardi di ACF per MA (1) con theta1 0,7 lags0: 10 crea una variabile denominata ritardi che va da 0 a 10. trama (ritardi, acfma1, xlimc (1,10), ylabr, typeh, principale ACF per MA (1) con theta1 0,7) abline (H0) aggiunge un asse orizzontale per la trama il primo comando determina l'ACF e lo memorizza in un oggetto chiamato acfma1 (la nostra scelta del nome). Il comando plot (il 3 ° comando) trame in ritardo rispetto ai valori ACF per ritardi da 1 a 10. Il parametro ylab Contrassegni l'asse Y e il parametro principale mette un titolo sul terreno. Per visualizzare i valori numerici della ACF è sufficiente utilizzare il comando acfma1. La simulazione e le trame sono state fatte con i seguenti comandi. xcarima. sim (N150, elenco (Mac (0,7))) Simula n 150 valori da MA (1) xxc10 aggiunge 10 per rendere medi default 10. simulazione a significare 0. plot (x, TypeB, mainSimulated MA (1) i dati) ACF (x, xlimc (1,10), mainACF per dati campione simulati) nell'Esempio 2, abbiamo tracciato l'ACF teorica del modello xt 10 wt .5 w t-1 .3 w t-2. e poi simulato n 150 valori di questo modello e tracciato le serie temporali del campione e l'ACF campione per i dati simulati. I comandi R utilizzati sono stati acfma2ARMAacf (Mac (0.5,0.3), lag. max10) acfma2 lags0: 10 plot (ritardi, acfma2, xlimc (1,10), ylabr, typeh, principale ACF per MA (2) con theta1 0.5, theta20.3) abline (H0) xcarima. sim (N150, l'elenco (Mac (0,5, 0,3))) xxc10 plot (x, TypeB, principale simulato MA (2) Serie) ACF (x, xlimc (1,10), mainACF per simulato MA (2) dati) Appendice: prova di proprietà di MA (1) per gli studenti interessati, qui ci sono prove per le proprietà teoriche del (1) modello MA. Varianza: (testo (xt) testo (mu peso theta1 w) 0 di testo (in peso) di testo (theta1w) sigma2w theta21sigma2w (1theta21) sigma2w) Quando h 1, l'espressione precedente 1 w 2. Per ogni h 2, l'espressione precedente 0 . il motivo è che, per definizione di indipendenza della wt. E (w k w j) 0 per ogni k j. Inoltre, perché la w t hanno media 0, E (w j w j) E (w j 2) w 2. Per una serie temporale, applicare questo risultato per ottenere l'ACF cui sopra. Un modello MA invertibile è uno che può essere scritta come modello AR ordine infinito che converge in modo che i coefficienti AR convergono a 0, mentre ci muoviamo infinitamente indietro nel tempo. Bene dimostrare invertibilità per la (1) Modello MA. Abbiamo poi sostituto relazione (2) per w t-1 nell'equazione (1) (3) (ZT WT theta1 (z - theta1w) peso theta1z - theta2w) Al tempo t-2. l'equazione (2) diventa Abbiamo poi rapporto sostituto (4) per w t-2 nell'equazione (3) (ZT peso theta1 z - theta21w WT theta1z - theta21 (z - theta1w) WT theta1z - theta12z theta31w) Se dovessimo continuare a ( infinitamente), otterremmo il modello AR ordine infinito (ZT peso theta1 z - theta21z theta31z - theta41z punti) Nota però, che se 1 1, i coefficienti moltiplicando i ritardi di z aumenterà (infinitamente) in termini di dimensioni, come ci muoviamo nel tempo. Per evitare questo, abbiamo bisogno di 1 LT1. Questa è la condizione per un MA (1) Modello invertibile. Infinite Modello di ordine MA In settimana 3, e vedere che un AR (1) modello può essere convertito in un modello di ordine MA infinite: (xt - mu peso phi1w phi21w punti phik1 w punti riassumono phij1w) Questa somma dei termini di rumore bianco del passato è conosciuto come la rappresentazione causale di un AR (1). In altre parole, x t è un tipo speciale di MA con un numero infinito di termini che vanno indietro nel tempo. Questo è chiamato un ordine infinito MA o MA (). Un ordine MA finito è un AR ordine infinito ed ogni AR ordine finito è un ordine MA infinita. Ricordiamo a settimana 1, abbiamo notato che un requisito per un AR fisso (1) è che 1 LT1. Consente di calcolare il Var (x t) utilizzando la rappresentazione causale. Questo ultimo passo utilizza un fatto di base sulla serie geometrica che richiede (phi1lt1) altrimenti i diverge serie. Navigazione